\subsection{同类项}\label{subsec:2-4}

我们来看下面的多项式：
$$ \underline{4xy^2} \; \underline{\underline{+ \; 3x^3}} \; -6x^3y \; \underline{- \; 5xy^2} \; \underline{\underline{\underline{+ \; 7}}} \; \underline{\underline{+ \; 4x^3}} \; \underline{\underline{\underline{- \; 10}}} \; \underline{\underline{- \; x^3}} \juhao $$

\jiange 第一项 $4xy^2$ 与第四项 $-5xy^2$ 所含的字母相同，都是 $x$，$y$， 并且 $x$ 的指数都是 1 ，$y$ 的指数都是2 。
象这样，所含字母相同， 并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做\zhongdian{同类项}。几个常数项也是同类项。
上式中 $4xy^2$ 与 $-5xy^2$ 是同类项， $+3x^3$ 与 $+4x^3$ 是同类项，
$+7$ 与 $-10$ 也是同类项。 $-6x^3y$ 没有同类项。

\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{（口答）下列各组中的两个项是不是同类项？为什么？}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$2x^2y$ 与 $5x^2y$；} & \xxt{$\dfrac{1}{3}ab^3$ 与 $-\dfrac{4}{3}ab^3$；}\\
        \xxt{$4abc$ 与 $4ab$；} & \xxt{$0.2x^2y$ 与 $0.2xy^2$；}\\
        \xxt{$mn$ 与 $-mn$；} & \xxt{$\dfrac{1}{4}st$ 与 $5ts$；}\\
        \xxt{$12x^3y^2$ 与 $-12x^2y^3$；} & \xxt{$2x^2$ 与 $2x^3$；}\\
        \xxt{$a^3$ 与 $5^3$；} & \xxt{$-125$ 与 $12$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{找出下列多项式中的同类项：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$5x^2y - 3y^2 -x - 4 + x^2y + 2x - 9$；}

    \xxt{$4ab - 7a^2b^2 - 8ab^2 + 5a^2b^2 - 9ab + a^2b^2$。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}
\lianxijiange


多项式中的同类项， 可以合并成一项。 例如， 在多项式
$$ 3x - 4y + y + 2x $$
中， $3x$ 和 $2x$ 是同类项， $-4y$ 和 $y$ 也是同类项， 根据分配律，
$$\begin{aligned}
    & 3x + 2x = (3 + 2)x = 5x, \\
    & -4y + y = (-4+1)y = -3y\juhao
\end{aligned}$$

把多项式中的同类项合并成一项， 叫做\zhongdian{合并同类项}。
合并同类项时， 把\zhongdian{同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。}


\liti 合并下列各式的同类项：

\twoInLine{（1）$3x^3 - x^3$；}{（2）$xy^2 - 5xy^2$。}

\jie （1）$3x^3 - x^3 = (3 - 1)x^3 = 2x^3$；

（2） $xy^2 - 5xy^2 = (1 - 5)xy^2 = -4xy^2$。


\liti 合并 $4x^2 - 8x + 5 - 3x^2 + 6x -2$ 中的同类项。

\jie $\begin{aligned}[t]
        & \underline{4x^2} \; \underline{\underline{- \; 8x}} \; \underline{\underline{\underline{+ \; 5}}} \; \underline{- \; 3x^2} \; \underline{\underline{+ \; 6x}} \; \underline{\underline{\underline{- \; 2}}} \\
    ={} & (4 - 3)x^2 + (-8 + 6)x + (5 - 2) \\
    ={} & x^2 - 2x + 3 \juhao
\end{aligned}$


\liti 合并 $4a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 2b^2 - b^2$ 中的同类项。

\jie $\begin{aligned}[t]
        & \underline{4a^2} \; \underline{\underline{+ \; 3b^2}} \; +2ab \; \underline{- \; 4a^2} \; \underline{\underline{- \; 2b^2}} \; \underline{\underline{- \; b^2}} \\
    ={} & (4 - 4)a^2 + (3 - 2 - 1)b^2 + 2ab \\
    ={} & 2ab \juhao
\end{aligned}$


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{合并下列各式的同类项：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$5x + 4x$；}                   & \xxt{$-7ab + 6ab$；} \\
        \xxt{$-5x^2 + \dfrac{1}{5}x^2$；}   & \xxt{$-12vt + 12vt$；} \\
        \xxt{$mn + mn$；}                   & \xxt{$-ab + 3ab$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{下列各题合并同类项的结果对不对？}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$3a + 2b = 5ab$；}         & \xxt{$5y^2 - 2y^2 = 3$；} \\
        \xxt{$4x^2y - 5xy^2 = -x^2y$；} & \xxt{$a + a = 2a$；} \\
        \xxt{$7ab - 7ba = 0$；}         & \xxt{$3x^2 + 2x^3 = 5x^5$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{合并同类项：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$6x - 10x^2 + 12x^2 - 5x$；}

    \xxt{$7a^2 - 2ab + 2a^2 + b^2 + 3ab - 2b^2$；}

    \xxt{$x^5 - x^3 + 4x^2 - 2x^5 - 2x^2 + 3x^4$；}

    \xxt{$5xy - 3x^2 + y^2 - 4xy + 4x^2 - 2y^2$。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}
\lianxijiange


\liti 求多项式 $2x^2 - 5x + x^2 + 4x - 3x^2 -2$ 的值，其中 $x = \dfrac{1}{2}$。

\jie $\begin{aligned}[t]
        & 2x^2 - 5x + x^2 + 4x - 3x^2 -2 \\
    ={} & (2 + 1 - 3)x^2 + (-5 + 4)x - 2 \\
    ={} & -x -2 \juhao
\end{aligned}$

\begin{enhancedline}

当 $x = \dfrac{1}{2}$ 时，$\text{原式} = -\dfrac{1}{2} - 2 = -2\dfrac{1}{2}$。

多项式中，如果有同类项，先合并同类项，再求值，计算就简便。

\liti 求多项式 $3a + abc - \dfrac{1}{3}c^2 - 3a + \dfrac{1}{3}c^2$ 的值，
其中 $a = -\dfrac{1}{6}$， $b = 2$， $c = -3$。

\jie $\begin{aligned}[t]
        & 3a + abc - \dfrac{1}{3}c^2 - 3a + \dfrac{1}{3}c^2 \\
    ={} & (3 - 3)a + abc + \left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\right)c^2 \\
    ={} & 0 + abc + 0 = abc \juhao
\end{aligned}$

当 $a = -\dfrac{1}{6}$， $b = 2$， $c = -3$ 时，
$\text{原式} = \left(-\dfrac{1}{6}\right) \times 2 \times (-3) = 1$。

如果两个同类项的系数互为相反数， 合并同类项时， 这两项就可以彼此抵消。


\lianxi

求下列各式的值：
\begin{xiaotis}

\xiaoti{$3a + 2b - 5a - b$，其中 $a = -2$， $b = 1$。}

\xiaoti{$5x^2 + 4 - 3x^2 - 5x - 2x^2 -5 + 6x$，其中 $x = -3$。}

\xiaoti{$3ab - 5ab^3 + 0.5a^3b - 3ab^2 + 5ab^3 - 4.5a^3b$，其中 $a=1$， $b=1\dfrac{1}{2}$。}

\xiaoti{$4xy - 3x^2 - xy + y^2 + x^2 - 3xy - 2y + 2x^2$，其中 $x = 1\dfrac{13}{15}$， $y = -1$。}

\xiaoti{$\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{4}x + 0.2x^3 + 0.25x - 0.5x^2 - \dfrac{1}{5}x^3$，其中 $x = \dfrac{12}{13}$。}

\end{xiaotis}
\end{enhancedline}

